Задача о пути торможения автомобиля – Задача о пути торможения автомобиля — урок. Информатика, 9 класс.

Решение задач на компьютере. Задача о пути торможения автомобиля

Этапы решения
задачи с помощью компьютера:

1.    
Постановка
задачи.

2.    
Формализация
задачи.

3.    
Создание
алгоритма.

4.    
Программирование.

5.    
Тестирование
и отладка.

Сегодня мы рассмотрим эти этапы и связи между ними при
решении практической задачи. Автомобиль ехал с некоторой скоростью u_нач
х,
после чего водитель нажал на педаль тормоза и автомобиль начал замедлятся с
ускорением a м/с², пока не остановился полностью. Найти
длину тормозного пути автомобиля s.

На этапе постановки задачи мы должны
выделить начальные и результирующие данные. Исходными данными здесь будут
начальная скорость u_{нач х} м/с и ускорение
автомобиля – a м/с², а результирующими данными будет
длина тормозного пути автомобиля s.

На этапе формализации данных мы должны
составить математическую модель. Известно, что перемещение при прямолинейном
равноускоренном движении можно найти по формуле:

Адаптируем её для
данной задачи. У нас конечная скорость всегда равна нулю, так как по условию
автомобиль останавливается полностью. Подставим это значение в данную формулу и
после преобразований получим адаптированную формулу для нашей задачи.

 Обратим внимание
что, автомобиль двигается равнозамедленно, значит его ускорение должно быть
отрицательным. А также по смыслу задачи начальная скорость должна быть
положительной.

На этапе создания алгоритма подумаем,
какую последовательность действий нам нужно выполнить для получения
результирующих данных из исходных, и запишем её в форме блок-схемы.

Блок-схема всегда начинается с блока
«начало». Прежде всего, нам необходимо ввести значения исходных данных. Затем
нам необходимо проверить правильность введенных данных, так как наша задача
будет иметь смысл только при отрицательном ускорении и положительной начальной
скорости. Если данное условие выполняется – нам нужно рассчитать по формуле
длину тормозного пути, а затем вывести её. Если же введены данные, при которых
наша задача не имеет смысла, выведем поясняющее сообщение «Неверный ввод
данных». В
конце блок-схемы всегда ставится блок «Конец».

Блок-схема
алгоритма решения задачи

На этапе программирования мы должны
написать программу по блок-схеме. Программу будем писать на языке Pascal. Напомним, что
программа на языке «Паскаль» начинается со служебного слова program, после которого
следует название программы. Имя программы должно соответствовать содержанию и
может содержать от 1 до 255 букв латинского алфавита, цифр и знаков
подчёркивания. Оно должно начинаться с буквы или знака подчёркивания, в конце
строки ставится точка с запятой. Далее следует раздел описания переменных,
который начинается со служебного слова var. В нём
записываются названия переменных, у нас их будет три: начальная скорость,
ускорение и длина тормозного пути. Название переменной должно начинаться с
буквы латинского алфавита или знака подчёркивания, после чего могут следовать
несколько букв латинского алфавита, цифр или знаков подчёркивания, записанных
без пробелов, назовём наши переменные соответственно v, a и s, так как их
значения могут быть дробными, они будут принадлежать к вещественному типу real. Переменная этого
типа в Pascal ABC занимает 8 байт
оперативной памяти. Тело программы всегда начинается со служебного слова begin, после которого
точка с запятой не ставится, а заканчивается служебным словом end, после которого
ставится точка. Между ними с отступом в один пробел записывается
последовательность команд, из которой состоит программа.

Заготовка
программы

В начале выведем на экран пояснительное
сообщение с переходом на следующую строку при помощи команды writeln, «Программа
расчёта тормозного пути автомобиля…», далее, без перехода на следующую строку
выведем другое пояснительное сообщение при помощи команды write, «Начальная
скорость автомобиля:»

После чего считаем введённое пользователем
значение начальной скорости и перейдём на следующую строку с помощью команды readln, далее выведем
пояснительное сообщение для ускорения, после чего считаем его.

Теперь нам нужно проверить корректность
введённых данных. Для этого запишем условный оператор if, после которого
будет следовать составное условие v > 0 и a < 0. После условия
точка с запятой также не ставится.

Далее запишем последовательность команд
для выполнения, если наше условие выполняется. Для этого записывается служебное
слово then, и так как в этом
случае нужно выполнить больше одной команды – они будут записываться между
служебными словами begin и end. В данном случае
после слова end не ставится ничего, так как далее будет
записан блок действий, если условие не выполняется. Теперь мы должны записать
между служебными словами begin и end команду
присваивания переменной s значения –v*v/(2*a), после чего
вывести без перехода на следующую сроку пояснительное сообщение «Длина
тормозного пути автомобиля:» и значение s, после чего
вывести с переходом на следующую строку букву «м», так как длина тормозного
пути измеряется в метрах.

В начале блока команд при невыполнении
условия записывается служебное слово else. В этом случае
выведем с переходом на следующую строку сообщение о неверном вводе данных.

Исходный код
программы

У нас есть написанная программа. Значит
можно переходить к этапу тестирования и отладки.

Придумаем несколько тестов для программы.
Тесты, а также результаты работы программы с ними удобно будет оформить в виде
следующей таблицы.

Форма
таблицы тестов

Возьмём два теста при вводе верных данных
и два теста с вводом данных, при которых задача не имеет смысла.

Итак, при начальной скорости 22 и
ускорении -5,5 результатом работы программы должно быть сообщение: «Длина
тормозного пути автомобиля: 44 метра». При начальной скорости 20 и ускорении -5
длина тормозного пути должна быть 40 метров. А при начальной скорости -3 и
ускорении -10 а также начальной скорости 40 и ускорении 15 программа должна
вывести сообщение о неверном вводе данных.

Таблица тестов

Запустим программу на выполнение. Мы
получили сообщение об ошибке. «Ожидалась точка с запятой». Значит строкой выше
была допущена синтаксическая ошибка или опечатка, так как она должна
заканчиваться точкой с запятой.

Указание ошибки

Исправим ошибку и снова запустим программу
на выполнение. На этот раз программа заработала, осталось проверить, работает
ли она правильно.

Введём данные из наших тестов в программу.
В первом и втором тестах результат работы программы соответствует ожидаемому, а
в третьем и четвёртом тестах программа вместо сообщения о неверном вводе данных
выдаёт значения длины тормозного пути, что не соответствует ожидаемому
результату.

Тест 1

Тест 2

Тест 3

Тест 4

 При помощи отладки
найдём, где допущена ошибка. Для этого нажмём на кнопку «Шаг без входа в
программу» и будем выполнять программу пошагово, нажимая на ту же кнопку. Зададим
значения начальной скорости и ускорения из третьего теста.

Процесс отладки

Обратим внимание, что, согласно
математической модели и блок-схеме, при отрицательной начальной скорости
программа должна выводить сообщение об ошибке, то есть в данном условном
операторе условие выполнятся не должно, а в программе оно выполняется.

Следовательно, условие сформулировано
неверно. Согласно блок схеме, условие должно быть: v > 0 и a < 0, а в
программе составное условие разделено служебным словом or, что в переводе
означает «или». Чтобы условие соответствовало тому, что в блок-схеме, нужно при
его записи служебное слово or заменить служебным словом and, что в переводе
означает «и». Исправленная
программа выглядит так.

Исправленный
исходный код.

Теперь все результаты тестов соответствуют
ожидаемым.

Важно запомнить:

Результатом постановки задачи
являются исходные и результирующие данные, результатом формализации
задачи – математическая модель, описывающая явление формулами,
результат создания алгоритма – алгоритм, записанный в
определённой форме. Результат программирования – программа. А
результатом тестирования и отладки является подтверждение
правильности работы программы.

videouroki.net

Тормозной путь и масса — Энциклопедия журнала «За рулем»

У какого автомобиля больше тормозной путь — у груженого под завязку или у пустого?
Больше половины людей ответят, что у груженого.
А на как обстоят дела на самом деле?

Для начала придется окунуться в «школьные годы чудесные», а именно — в физику за 6-й класс. Раздел «Силы трения». Окунаться будем не глубоко, по щиколотку.
Итак, смотрим на картинку. Перед нами — одноглазый Билли Бонс за рулем Фольксвагена. Он что-то увидел на дороге и вовсю тормозит. С точки зрения физики, и Фольксваген, и Билли Бонс — все это вместе называется «тело». На это тело действуют силы. Это сила тяжести, которая прижимает тело к земле mg, сила реакции опоры N, которая ей противодействует. Эти силы в простейшем случае, на горизонтальной поверхности, равны и направлены в разные стороны, а их равнодействующая равна нулю. Кроме них на движущееся тело действует еще одна сила — сила трения Fтр. Сила трения зависит от силы реакции опоры и коэффициента трения, она прямо пропорциональна им. А если точнее, равна просто их произведению: F_тр. = μN.
Но сила реакции опоры равна массе тела, умноженной на ускорение свободного падения g: N = mg.
Подставим значение N в формулу силы трения:
F_тр. = μmg

Поскольку на всей планете Земля ускорения свободного падения одинаковое, то делаем вывод, что сила трения зависит от коэффициента трения и массы тела, и больше ни от чего.

Если на дело действует какая-то сила, оно начинает ускоряться (напомним, что с точки зрения физики торможение — тоже ускорение, только с обратным знаком). Согласно второму закону Ньютона, это сила равна произведению массы на ускорение: F = ma
Значит, ускорение равно a = F / m.
На наше тело действует единственная сила — сила трения (равнодействующая остальных равна нулю, значит, они не оказывают влияния). Значит,
a = F_тр./m, то есть ускорение (замедление торможения) равно силе трения, деленной на массу Билли Бонса и его Фольксвагена.
Но сила трения равна F_тр. = μmg. Подставим это значение в нашу формулу:
а = μmg/m. Масса, деленная на эту же массу, сокращается. Значит, а = μg
Итак, ускорение (в нашем случае — это интенсивность торможения) зависит только от коэффициента трения! Какая бы ни была масса тела, она у нас сокращается, то есть чем больше масса, тем больше будет и сила трения, причем точно на эту же самую величину.

Вроде бы уже все ясно. Но нам надо решить задачу до конца и вычислить тормозной путь. Это просто.
Ускорение а равно скорости V, деленной на время t
a = V / t
Тогда
t = V / a = V / μg

Согласно Закону равноускоренного движения, расстояние S равно:
S = at² / 2

Тогда
S = μg (V / μg)² / 2 = (V² / μg) / 2 = V² / 2μg

Итак,

Тормозной путь зависит только от скорости и коэффициента трения, и не зависит от массы автомобиля.

Ну а поскольку ускорение свободного падения — величина постоянная, и равна 9.81 м/с², то упрощенно можно считать так:
S = V² / 20μ

Так гласят незыблимые законы физики. Но если заглянуть в характеристики автомобилей, легко обнаружить, что у грузовиков тормозной путь больше, чем у легковушек. Выходит, они нарушают эти самые незыблимые законы? Конечно, нет. Для того, чтобы разобраться в этом, придется выйти далеко за пределы элементарной физики и детально знакомиться со свойствами тормозных систем (в частности, в разнице работы между «легковой» гидравлической и «грузовой» пневматической — а они разные), а также — в работе шины. В частности, в зависимости коэффициента трения шины от ее температуры, и, самое главное, от того, в какой момент начнется плавление резины. Чем раньше шина начнет плавиться — тем больше будет тормозной путь. А раньше начнет плавиться та шина, которая сильнее прижимается к асфальту. То есть — шина грузовика.
Тем не менее, в самом общем случае, когда скорости разумные, тормозной путь конкретного автомобиля не будет зависеть от того, насколько он нагружен. Не верьте тем людям, которые утверждают, что у сильно загруженного автомобиля он больше. Он такой же точно, как у пустого.

Что же касается автомобиля с прицепом, не оборудованным тормозами, то путем нехитрых преобразований мы получим такую формулу ускорения:
а = μg (1 + m_пр. / m_авт.)
Из чего видно, что сама масса прицепа не имеет значения, а важно только отношение массы прицепа к массе автомобиля: чем оно больше — тем больше ускорение и, стало быть, тормозной путь. Прямо пропорционально отношению масс автомобиля, который тормозит и прицепа, который тормозить не может.
S = V² / 2μg(1 + (m_пр. / m_авт.))
Видно, что если масса прицепа будет равна половине массы автомобиля, то тормозной путь увеличится наполовину, то есть станет в полтора раза длиннее. А если масса прицепа равна массе автомобиля — то в два раза.

Статья написана по материалам лекций Автошколы МГУ (Университетской автошколы)

wiki.zr.ru

Применение математического аппарата к решению задачи о тормозном пути автомобиля

— 9 —

Школьное методическое объединение «МИФ»

Интегрированный физико-математический проект

«Применение математического аппарата к решению физических задач с использованием различных методов»

Автор: Гордин Андрей – 11 класс

Научное руководство:

Скобелева Майя Борисовна,

учитель математики;

«Математика – царица всех наук и служанка физики»(с)

Показателем владения тем или иным навыком является способность применять его к решению кардинально отличающихся друг от друга задач в различных ситуациях. Точно так же, показателем владения математическими методами является умение применить их к решению большого количества прикладных задач. При этом, основным в умении решить задачу различными способами является возможность выбрать из них в данных условиях наиболее рациональный. Что подтверждает незыблемую взаимосвязь абстрактности математики с реальностью окружающего нас мира.

В работе:

1) Рассмотрены разнообразные способы решения одной задачи, с анализом эффективности и рациональности их применения.

2) Отобраны и разобраны задачи по различным темам физики, решающиеся путем применения однотипного математического приема.

Цели работы:

1. Применить различные методы решения к одной задаче.

2. Отработать технику решения физических задач одним из математических методов.

3. Выработать систему анализа эффективности применения различных математических методов к решению физических задач.

Задачи:

1. Исследовать возможности решений одной физической задачи при применении различных методов.

2. Оценить эффективность методов, определить их характерные особенности.

3. Решить графическим методом ряд физических задач.

4. Сравнить эффективность применения данного метода в различных случаях, оценить его положительные и отрицательные стороны.

5. Описать основные признаки физических задач, рационально решаемых графическим методом, обосновать критерии отбора.

Исследуем возможность решения одной физической задачи различными методами.

Шофёр резко затормозил при скорости автомобиля 72 км/ч.
Дорога горизонтальная, коэффициент трения скольжения 0,5.

Исследуем эту ситуацию.

1.Во сколько раз изменится тормозной путь, если начальная скорость машины увеличится в 2 раза?

Вышеприведённый способ решения носит название:

«Метод размерностей»

Он позволяет определить вид пропорциональных отношений между величинами задачи. С его помощью можно решать задачи на нахождение отношений между двумя величинами.

2. Найдём ускорение автомобиля.

Для этого запишем второй закон Ньютона, применительно к данной ситуации и найдём проекции векторов на координатные оси. Затем, выполнив стандартные алгебраические преобразования, вычислим модуль ускорения автомобиля.

3. Найдём тормозной путь автомобиля.

Воспользуемся для этого графическим методом решения задач.

Я напомню вам его суть.

Графики играют здесь не вспомогательную роль, как, например, в случае приближенного решения уравнений. В случае использования графического метода решения задач графики являются полноправной математической моделью процесса.

Графический метод особенно удобен в тех случаях, когда нужно (или можно) связать некоторую величину со скоростью ее изменения в зависимости от некоторого параметра (не обязательно времени) и с самим этим параметром. Иначе говоря, если у нас есть зависимость вида , , или , можно попробовать использовать графическую модель процесса для получения необходимых уравнений.

Для примера рассмотрим график зависимости скорости от времени.

Путь, пройденный за какой-либо промежуток времени, численно равен площади фигуры, ограниченной осью времени, графиком скорости и двумя вертикальными отрезками,
проведёнными из точек, соответствующих началу и концу данного промежутка времени, т. е. площади заштрихованной криволинейной трапеции.

В общем случае её можно вычислить по формуле:

В случае, когда зависимость скорости от времени выражается классической алгебраической функцией, криволинейная трапеция превращается геометрическую фигуру, площадь которой мы можем вычислить, используя, знакомые нам из курса геометрии формулы.

В нашей ситуации движение прямолинейное равноускоренное, а значит, зависимость скорости от времени является линейной функцией. Построив её график и найдя площадь получившегося прямоугольного треугольника, мы численно вычислим длину тормозного пути.

Объединив все полученные при исследовании формулы, мы видим, что тормозной путь пропорционален квадрату начальной скорости с коэффициентом пропорциональности , который зависит от коэффициента трения, т. е. от характеристик резины и дорожного покрытия.

Есть ещё один способ решения этой задачи. Работу в данном случае совершает сила трения. С одной стороны, она равна скалярному произведению вектора силы трения на вектор перемещения, а так как мы видим, что они противоположно направлены, то косинус угла между ними равен -1. С другой стороны, работа равна изменению кинетической энергии автомобиля. Мы помним, что конечная скорость автомобиля равна 0, а значит, путём несложных алгебраических преобразований получаем формулу для вычисления тормозного пути.

Критерии рациональности

применения того или иного метода:

1. Самый важный – время, затрачиваемое на решение задачи.

2. Далее, немаловажной является необходимость владения специфическими знаниями и навыками (законы физики, умение брать интегралы и т. п.).

3. Простота производимых действий и объём работы – как правило, находятся в обратной пропорциональности.

4. Затрачиваемые умственные и творческие усилия.

5. Необходимость применения знаний из дисциплин различной степени смежности.

6. Универсальность метода, точность и полнота полученного результата.

Выводы:

1. Овладение различными способами решения задач – не самоцель, а возможность выработать более глубокое понимание проблемы.

2. Одной из основных задач в жизни человека является выбор наиболее рациональных способов решения возникающих проблем.

3. Выработка критериев оценки рациональности того или иного метода применительно к конкретной проблеме является задачей нетривиальной и требующей детального анализа.

Список литературы

1) Энциклопедия для детей. Том 16. Физика. Ч.1. биография физики. Путешествие вглубь материи. Механическая картина мира / Глав. ред. В.А.Володин. – М.: Аванта+, 2000.-448 с.

2) Энциклопедия для детей. Том 14.техника / Глав. ред. М.Д.Аксёнова. – М.: Аванта+, 2000.-688 с.

3) Элементарный учебник физики. Учеб. пособие. В 3 т. / Под ред. Г.С.Ландсберга: Т. 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. –

12-е изд. – М.: ФИМАЛИТ, 2000г.-608 с.

4) Физика: механика: 9 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики / М.М.Балашов, А.И.Гомонова, А.Б.Долинский и др.; Под ред. Г.Я.Мякишева. – М.: Дрофа, 1996.-496 с.

5) Работа Гундырева В. Б. «ИНЖЕНЕР- «Физик», «Лирик» или просто волшебник».

multiurok.ru

МАТЕМАТИКА- Остановочный и тормозной путь | Интегрированные уроки

МАТЕМАТИКА- Остановочный и тормозной путь

28.10.2011