Дальнейшая эксплуатация невозможна: «Не возможно» или «невозможно» — как правильно пишется, слитно или раздельно?&nbsp

Невозможные операции в квантовом мире I и II Дебасис Саркар [email protected] Департамент прикладной математики Университета Калькутты

Список невозможных операций (запретные принципы) • 1. Невозможность точного клонирования (без клонирования) • 2. Невозможность точного удаления (без удаления) • 3. Более сильное запрещение клонирования • 4. Отсутствие универсального Точный флиппер (без переворачивания) • 5.Без частичного клонирования • 6. Без частичного стирания

7. Отсутствие универсального логического элемента Адамара • 8. Невозможность вероятностного клонирования • 9. Невозможность широковещательной передачи смешанных состояний • 10. Без разделения • 11. Без сокрытия • И т.д….!

Некоторые основные понятия о квантовых системах Физическая система, связанная с сепарабельным комплексным гильбертовым пространством Наблюдаемые — это линейные самосопряженные операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Состояния представлены операторами плотности, действующими в гильбертовом пространстве.

Измерения регулируются двумя правилами • 1.Постулат проекции: — После измерения наблюдаемого A на физической системе, представленной состоянием ρ, система переходит в одно из собственных состояний A. • 2. Правило Борна: — Вероятность получения системы в собственном состоянии задается формулой • Tr (ρP []). • Эволюция управляется унитарным оператором или, другими словами, уравнением эволюции Шредингера.

Состояния физической системы • Предположим, H — гильбертово пространство, связанное с физической системой.• Тогда под состоянием ρ мы понимаем линейный эрмитов оператор, действующий в гильбертовом пространстве H, такой что • Он неотрицательно определен и • Tr (ρ) = 1. • Состояние является чистым тогда и только тогда, когда ρ2 = ρ, и смешанным в противном случае. • Чистое состояние имеет вид ρ = | , | H.

Составные системы • Рассмотрим физические системы, состоящие из двух или более сторон A, B, C, D, …… • Связанное гильбертово пространство — HAHB HC HD … • Затем состояния классифицируются двумя способами • (I) Разделимость: — имеют вид ρABCD = wiρiAρiBρiCρiD с 0 wi 1 и wi = 1.• (II) Все остальные состояния запутаны.

Чистая двудольная система Состояния представлены уникальной формой Шмидта, здесь — ранг Шмидта и коэффициенты Шмидта, так что. Вектор Шмидта этого состояния равен AB

Чистая двудольная запутанность • Запутанность чистого состояния однозначно измеряется энтропией фон Нюемана его подсистем, • Состояния локально унитарно связаны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый вектор Шмидта, следовательно, их запутанность должна быть равной.• Термодинамический закон запутывания: количество запутанных состояний не может быть увеличено никаким LOCC (локальные операции, выполняемые над подсистемами вместе с классической связью между подсистемами).

Некоторое использование квантовой запутанности • Квантовая телепортация (Bennett et.al., PRL, 1993) • Плотное кодирование (Bennett et.al., PRL, 1992) • Квантовая криптография, (Ekert, PRL, 1991)

Физическая операция Предположим, что физическая система описывается состоянием. Краузе описывает понятие физической операции, определенной на полностью положительной карте, действующей на систему и описываемой где каждый является линейным оператором, удовлетворяющим отношение

Оператор Separable Super Если, то операция сохраняет след.Когда состояние разделяется между несколькими сторонами, скажем, A, B, C, D ,. …. и каждый имеет форму, в которой все являются линейными операторами, тогда операция называется сепарабельным супероператором.

Локальные операции с классической связью (LOCC) Рассмотрим физическую систему, совместно используемую несколькими сторонами, расположенными в удаленных лабораториях. Тогда совместная операция, выполняемая в этой системе, называется LOCC, если она может быть достигнута с помощью набора некоторых локальных операций над подсистемами в разных лабораториях вместе с обменом данными между ними через некоторый классический канал.

Результат: каждый LOCC — это отдельный супероператор. Но верно ли обратное или нет? Утверждается, что существуют разделимые супероператоры, которые не могут быть выражены конечным LOCC.Bennett et. и др. Phys. Ред. А 59, 1070 (1999).

Число коэффициентов Шмидта чистых двудольных запутанных состояний не может быть увеличено никаким LOCC. • Мера запутанности: — • 1. Для чисто двудольного состояния запутанность измеряется энтропией фон Неймана любой из ее подсистем.Это единственная мера для всех чистых двудольных состояний. • 2. Для смешанных двудольных запутанных состояний не существует единственного способа определения запутанности состояния. • Две полезные меры запутанности: • запутанность образования и извлекаемая запутанность. • Для многочастного случая ситуация очень сложная.

Клонирование • Основные задачи: копирование квантовой информации точно в (произвольных) квантовых состояниях. • Если существует машина, которая может выполнять такие задачи, мы называем ее квантовой машиной клонирования.• Возникает вопрос: существует ли квантовая машина для клонирования, которая может копировать в точности произвольную квантовую информацию или нет?

Теорема об отсутствии клонирования • Произвольная квантовая информация не может быть скопирована. • Чтобы доказать это, предположим, что мы предоставили два состояния и предположим, что существует точная машина для клонирования. Тогда мы могли бы записать его действие как: где | b>, | M> — пустое состояние и состояние машины.

Набросок доказательства • Используйте унитарность квантовых операций, т.е.е. рассмотрим U как унитарную операцию, отвечающую за клонирование двух вышеуказанных состояний. Унитарность подразумевает, = Если состояния различны, то из приведенного выше отношения сразу следует, что оба должны быть ортогональными. Можно также доказать теорему, используя линейность.

Некоторые замечания к примечанию • Квантовая механика запрещает точное клонирование произвольной информации, закодированной в квантовых состояниях. Это не означает, что неточное клонирование невозможно. • Для системы кубитов существует оптимальная универсальная изотропная квантовая машина для клонирования с точностью 5/6.Если далее ограничиваться состояниями в большом круге сферы Блоха, то верность еще больше увеличивается и составляет ½ + ¼ ().

Существует прекрасная связь между невозможностью различать неортогональные состояния с определенностью и отсутствием теоремы клонирования (упражнение!). • В литературе уже есть много результатов по изучению возможности выполнения неточного квантового клонирования в различных квантовых системах (см. ArXiv) • Можно также доказать теорему об отсутствии клонирования, используя некоторые другие физические ограничения на систему.Мы сделаем кое-что позже. • Ссылка: -Wootters & Zurek, Nature, 299 (1982) 802, Diecks, Phys. Lett. А, 92 (1982) 271, • Yuen, Phys. Lett. A, 113 (1986) 405, Scarani et al., Rev. Mod. Phys., 77 (2005) 1225, • Н. Гисин и С. Массар, PRL, 79 (1997), 2153, Bruss et al, PRA, 57 (1998) 2368.

Quantum Deleting • Задача состоит в следующем: при наличии двух копий квантового состояния (неизвестного) |  можно ли удалить информацию одной из частей. • Другими словами, при наличии двух различных состояний, существует ли какая-либо квантовая операция, которая могла бы выполнить следующую операцию:

Нет Теорема удаления • При наличии двух копий неизвестного квантового состояния невозможно удалить информацию, закодированную в один из экземпляров.• Предположим, мы предполагаем, что существует квантовая операция, которая может выполнять следующую задачу: Ссылка :-Pati & Braunstein, Nature, 404 (2000) 164.

Схема доказательства • Использование линейности квантовых операций; т.е. поскольку операция линейна, указанная выше задача также возможна для состояний | , где 2 2 . • Тогда, используя и используя другие два отношения, мы имеем

. Очевидно, что приведенные выше выражения подразумевают, что невозможно удалить точно произвольную квантовую информацию, закодированную в состоянии.• Упражнение: — Каким будет статус вспомогательных состояний | M0, | M1 и | M? • Можно доказать результат и другими способами; например, учитывая некоторые ограничения на системы. • Обратите внимание на различия между операциями клонирования и удаления. Есть ли между ними какие-то двойственные отношения?

Более сильная теорема о запрете клонирования • Здесь возникает вопрос: • «Сколько или какой вид дополнительной квантовой информации требуется для дополнения одной копии квантового состояния, чтобы иметь возможность произвести две копии этого состояния. посредством физической операции? » • i.е., какая информация нужна изначально для клонирования. • Ссылка :-R. Йожа, квант-ph / 0305114, квант-ф / 0204153.

Рассмотрим конечный набор неортогональных состояний {| i} и набор состояний {i} (обычно смешанный). • Тогда более сильная теорема о запрете клонирования гласит, что: Физическая операция существует тогда и только тогда, когда есть физическая операция, т.е. для клонирования требуется полная информация.

Схема доказательства • Используйте лемму, которая: Для двух наборов чистых состояний {| i}, {| i}, если они имеют равные матрицы скалярных произведений, i jij для всех i и j, то существует унитарная операция U над прямой суммой пространств состояний с U | i = | i для всех i и наоборот. ,• Теперь рассмотрим сначала i как чистое состояние. Затем докажите результат, используя лемму. После этого, используя i как смесь чистых состояний, докажем результат в целом.

Некоторые последствия • Для клонирования с помощью классической информации (i должны быть взаимно коммутируемыми) дополнительные данные должны содержать полную идентичность состояний как классической информации. • Доказательство теоремы об отсутствии удаления может быть выполнено с использованием леммы, которая использовалась в более сильной теореме о запрете клонирования. Обе запрещенные теоремы вместе устанавливают постоянство квантовой информации.

Spin Flipping • Задача такая: можно ли поменять направление вращения любого произвольного кубита или нет? • Другими словами, можно ли построить квантовое устройство, которое могло бы взять произвольный (неизвестный) кубит и преобразовать его в ортогональный кубит, или нет? т.е. возможность следующей операции:

Теорема о запрете переворачивания • Невозможно перевернуть произвольное (неизвестное) направление вращения. • Чтобы доказать это, мы должны внимательно относиться к характеру операции, которую пытаемся провести.В отличие от клонирования здесь невозможно доказать результат, рассматривая только два неортогональных состояния. • Зачем? • Потому что переворот возможен для состояний, лежащих на большом круге сферы Блоха. (упражнение)

Набросок доказательства • Один из способов — показать, что операция, которую мы написали, в целом является антиунитарной операцией, и доказательство завершено, поскольку антиунитарные операции не являются Физическими !! (Не CP map!) • Другой способ — рассмотреть три состояния, не лежащих на большом круге, и доказать невозможность.• Рассмотрим следующие состояния:

Затем представьте, что существует переворачивающая машина, которая может воздействовать на этих трех состояний. • Теперь попробуйте доказать, что операция невозможна. • Можно также доказать, рассматривая некоторые ограничения на квантовые системы. • Ссылка: — Бузек и др., PRA, 60 (1999) R2626, • Мартини и др., Nature, 419 (2002) 815.

Вероятностное квантовое клонирование • Здесь задача заключается в точном копировании / клонировании, но не с определенностью.т.е. условие расслабленное. • Интересный факт, что если попытаться скопировать набор состояний точно, но вероятностно, то набор должен быть линейно независимым. • Ссылка: — Дуан и Го, PRL, 80 (1998) 4999. • Интуитивное доказательство следует из ограничений системы. (Pati, PLA, 270 (2000) 103; Hardy & Song, PLA, 259 (1999) 331.

Частичное клонирование • Здесь мы должны изучить возможность частичного клонирования, т.е. существует ли какое-либо квантовое устройство, которое могло бы выполнять следующую операцию, или нет: где ,  произвольны, а F является функцией оригинала.Ссылка: — Пати, PRA, 66 (2002) 062319.

Схема доказательства • Сначала рассмотрим некоторые случаи F. Предположим, что | F (, где K — унитарный или антиунитарный оператор. Тогда, используя линейность и антилинейность операции, это легко доказать. • Затем рассмотрим K как комбинацию ( linear) унитарный и антиунитарный оператор и доказать результат. • Можно также доказать в общем виде.

Отсутствие универсального гейта Адамара • Есть два способа определить его: • Проверить возможность следующие операции: • Или,

Результат: для произвольных неизвестных кубитов нет вентилей Адамара указанного выше типа.• Доказательство несложно, если мы рассмотрим любые два различных кубита, а затем возьмем их скалярные произведения и их ортогонали до и после операций. (упражнение) • Ссылка: — Пати, PRA, 66 (2002) 062319.

Частичное стирание • Обратимость квантовой операции (унитарной) запрещает полное стирание состояния (скажем, кубита). т.е. преобразовать любой кубит в стандартное состояние путем унитарной эволюции невозможно. • Однако можно спросить следующее: • Можно ли частично стереть квантовую информацию, даже используя необратимые?

Что мы подразумеваем под частичным стиранием? • Частичное стирание — это сохраняющее след полностью положительное отображение, которое отображает все чистые состояния n-мерного гильбертова пространства в чистые состояния в m-мерном подпространстве (m

Отсутствие частичного стирания • Теорема 1. Для любой пары неортогональных кудитов, как правило, нет физической операции, которая могла бы частично стереть их. • Линейность квантовой теории дает нам даже больше, чем указано выше. • Теорема 2. Любой произвольный кудит не может быть частично стерт необратимой операцией. • Ссылка: — A.K.Pati & B.К. Сандерс, PLA, 359 (2006) 31.

Схема доказательств • Для теоремы 1 рассмотрим два состояния в n-тусклом гильбертовом пространстве и предположим, что имеется частичное стирание с ограничением K. • Для простоты выберите ограничение таким образом, чтобы оно уменьшало пространство параметров не менее 1 размера. Уменьшенный тусклый. в этом случае состояния могут не иметь в целом одинакового внутреннего продукта с исходными состояниями. • Теперь прикрепите вспомогательную функцию, чтобы увидеть эффект квантовой эволюции, и, учитывая унитарность, возьмите внутренний продукт обеих сторон.

Для теоремы 2 возьмем ортонормированный базис {| i}, i = 1,…, d. Затем машина частичного стирания уступает, где | A> — вспомогательное состояние. • Теперь рассмотрим произвольное состояние | . Тогда • Ясно, что результирующее состояние системы смешанное, что противоречит определению стирания как чистого.

Некоторые последствия • Проверьте результат теоремы 2 для d = 2, не используя вспомогательную функцию. • Для d = 2 в теореме 1 немедленно следует: «Универсальный элемент НЕ невозможен», т.е.е., теорема без переворота (проверьте это) • Также из теоремы 2 следует отсутствие расщепления квантовой информации. • Есть и другие последствия.

No-Hiding • Perfect Hiding — это процесс, в котором — произвольное входное состояние и фиксированное выходное состояние. • Входные состояния образуют подпространство большего гильбертова пространства, а выходное состояние находится в подпространстве, где оно не зависит от входа. • Теорема о запрете скрытия гласит: «Квантовая информация может передаваться, но не может скрыться».

Схема доказательства • Используйте линейность и унитарность квантового процесса. • Учитывайте только чистые входные состояния, используя линейность. • Unitarity позволяет подходящий выбор вспомогательного оборудования, увеличивая пространство. Тогда, • Изучив физическую природу сокрытия, мы имеем:

Итак, идеальное скрытие невозможно, поскольку вспомогательная содержит полную информацию о состоянии скрытия, что по определению невозможно. • Можно также изучить несовершенные процессы сокрытия и обнаружить значение результата теоремы о запрете скрытия.• Кроме того, это имеет серьезное значение для информационного парадокса черной дыры. • Ссылка: Браунштейн и Пати, PRL, 98 (2007) 080502.

Ограничения по физическим операциям • 1) Отсутствие сигнализации • 2) Невозможность увеличения запутанности при LOCC • 3) Невозможность взаимного преобразования посредством детерминированного LOCC пары несопоставимых состояний.

Нет сигналов Статус: это очень сильное ограничение для любой физической системы. Это не только квантово-механическое ограничение.Мощность: это очень мощное ограничение, которое легко распознается в большинстве настроек и практически для всех видов невозможных операций. Даже без использования квантово-механического формализма, например линейности и унитарной динамики. Обнаруженные им Невозможные операции: УНИВЕРСАЛЬНОЕ ТОЧНОЕ КЛОНИРОВАНИЕ, УНИВЕРСАЛЬНОЕ ТОЧНОЕ УДАЛЕНИЕ, УНИВЕРСАЛЬНОЕ ТОЧНОЕ ВРАЩЕНИЕ И т. Д.

Отсутствие увеличения запутанности в соответствии с LOCC Статус: Это очень похоже на термодинамическое ограничение физических систем.Это полностью ограничение квантовой обработки информации. Физическая причина этого ограничения полностью зависит от существования запутанных состояний физической системы. Запутанность — это измеримый физический ресурс, который можно применять для выполнения различного рода информационных и вычислительных задач. Поскольку это можно рассматривать как степень нелокальности системы, поэтому у нас есть принцип, согласно которому запутанность не может быть увеличена локальными операциями с классическими коммуникациями.

Мощность: Это также очень сильное ограничение на любую квантово-механически разрешенную эволюцию любой физической системы, и оно обнаруживает множество невозможных операций квантовой обработки информации. Поскольку это чисто квантово-механическое ограничение, мы можем использовать его для определения того, является ли любая локальная операция физической или нет, и у нас есть возможность использовать операцию для линейного действия на уровне суперпозиции квантовых состояний.