Меню Закрыть

2 3 8 13: 1 НАЙДИ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 2/3*8/13 12/49*7/24 1 4/35*1 2/13 2 5/11*2 4/9 2 4/5*10 2 ВЫПОЛНИ…

Содержание

Числа Фибоначчи (0,1,1,2,3,5,8,13, …)

Последовательность Фибоначчи — это последовательность чисел, где каждое число является суммой двух предыдущих чисел, за исключением первых двух чисел, равных 0 и 1.

Формула последовательности Фибоначчи

Например:

F 0 = 0

F 1 = 1

F 2 = F 1 + F 0 = 1 + 0 = 1

F 3 = F 2 + F 1 = 1 + 1 = 2

F 4 = F 3 + F 2 = 2 + 1 = 3

F 5 = F 4 + F 3 = 3 + 2 = 5

Конвергенция золотого сечения

Отношение двух последовательных чисел Фибоначчи сходится к золотому сечению:

φ — золотое сечение = (1 + √ 5 ) / 2 ≈ 1,61803399

Таблица последовательности Фибоначчи

п F n
0 0
1 1
2 1
3 2
4 3
5 5
6 8
7 13
8 21
9 34
10 55
11 89
12 144
13 233
14 377
15 610
16 987
17 1597
18 2584
19 4181
20 6765

Калькулятор последовательности Фибоначчи

TBD

C-код функции Фибоначчи

double Fibonacci(unsigned int n)

{

    double f_n =n;

    double f_n1=0.0;

    double f_n2=1.0;

 

    if( n / 1 ) {

        for(int k=2; k<=n; k++) {

            f_n  = f_n1 + f_n2;

            f_n2 = f_n1;

            f_n1 = f_n;

        }

    }

 

    return f_n;

}

 

Новый Завет : Евангелие от Луки : Глава 8 / Патриархия.ru

1 После сего Он проходил по городам и селениям, проповедуя и благовествуя Царствие Божие, и с Ним двенадцать,
2 и некоторые женщины, которых Он исцелил от злых духов и болезней: Мария, называемая Магдалиною, из которой вышли семь бесов,
3 и Иоанна, жена Хузы, домоправителя Иродова, и Сусанна, и многие другие, которые служили Ему имением своим.
4 Когда же собралось множество народа, и из всех городов жители сходились к Нему, Он начал говорить притчею:
5 вышел сеятель сеять семя свое, и когда он сеял, иное упало при дороге и было потоптано, и птицы небесные поклевали его;
6 а иное упало на камень и, взойдя, засохло, потому что не имело влаги;
7 а иное упало между тернием, и выросло терние и заглушило его;
8 а иное упало на добрую землю и, взойдя, принесло плод сторичный. Сказав сие, возгласил: кто имеет уши слышать, да слышит!
9 Ученики же Его спросили у Него: что бы значила притча сия?
10 Он сказал: вам дано знать тайны Царствия Божия, а прочим в притчах, так что они видя не видят и слыша не разумеют.
11 Вот что значит притча сия: семя есть слово Божие;
12 а упавшее при пути, это суть слушающие, к которым пото́м приходит диавол и уносит слово из сердца их, чтобы они не уверовали и не спаслись;
13 а упавшее на камень, это те, которые, когда услышат слово, с радостью принимают, но которые не имеют корня, и временем веруют, а во время искушения отпадают;
14 а упавшее в терние, это те, которые слушают слово, но, отходя, заботами, богатством и наслаждениями житейскими подавляются и не приносят плода;
15 а упавшее на добрую землю, это те, которые, услышав слово, хранят его в добром и чистом сердце и приносят плод в терпении. Сказав это, Он возгласил: кто имеет уши слышать, да слышит!
16
Никто, зажегши свечу, не покрывает ее сосудом, или не ставит под кровать, а ставит на подсвечник, чтобы входящие видели свет.
17 Ибо нет ничего тайного, что́ не сделалось бы явным, ни сокровенного, что́ не сделалось бы известным и не обнаружилось бы.
18 Итак, наблюдайте, как вы слушаете: ибо, кто имеет, тому дано будет, а кто не имеет, у того отнимется и то́, что́ он думает иметь.
19 И пришли к Нему Матерь и братья Его, и не могли подойти к Нему по причине народа.
20 И дали знать Ему: Матерь и братья Твои стоят вне, желая видеть Тебя.
21 Он сказал им в ответ: матерь Моя и братья Мои суть слушающие слово Божие и исполняющие его.
22 В один день Он вошел с учениками Своими в лодку и сказал им: переправимся на ту сторону озера. И отправились.
23 Во время плавания их Он заснул. На озере поднялся бурный ветер, и заливало их волнами, и они были в опасности.
24 И, подойдя, разбудили Его и сказали: Наставник! Наставник! погибаем. Но Он, встав, запретил ветру и волнению воды; и перестали, и сделалась тишина.
25
Тогда Он сказал им: где вера ваша? Они же в страхе и удивлении говорили друг другу: кто же это, что и ветрам повелевает и воде, и повинуются Ему?
26 И приплыли в страну Гадаринскую, лежащую против Галилеи.
27 Когда же вышел Он на берег, встретил Его один человек из города, одержимый бесами с давнего времени, и в одежду не одевавшийся, и живший не в доме, а в гробах.
28 Он, увидев Иисуса, вскричал, пал пред Ним и громким голосом сказал: что́ Тебе до меня, Иисус, Сын Бога Всевышнего? умоляю Тебя, не мучь меня.
29 Ибо Иисус повелел нечистому духу выйти из сего человека, потому что он долгое время мучил его, так что его связывали цепями и узами, сберегая его; но он разрывал узы и был гоним бесом в пустыни.
30 Иисус спросил его: как тебе имя? Он сказал: легион,- потому что много бесов вошло в него.
31 И они просили Иисуса, чтобы не повелел им идти в бездну.
32 Тут же на горе паслось большое стадо свиней; и бесы просили Его, чтобы позволил им войти в них. Он позволил им.
33 Бесы, выйдя из человека, вошли в свиней, и бросилось стадо с крутизны в озеро и потонуло.
34 Пастухи, видя происшедшее, побежали и рассказали в городе и в селениях.
35 И вышли видеть происшедшее; и, придя к Иисусу, нашли человека, из которого вышли бесы, сидящего у ног Иисуса, одетого и в здравом уме; и ужаснулись.
36 Видевшие же рассказали им, как исцелился бесновавшийся.
37 И просил Его весь народ Гадаринской окрестности удалиться от них, потому что они объяты были великим страхом. Он вошел в лодку и возвратился.
38
Человек же, из которого вышли бесы, просил Его, чтобы быть с Ним. Но Иисус отпустил его, сказав:
39 возвратись в дом твой и расскажи, что́ сотворил тебе Бог. Он пошел и проповедовал по всему городу, что сотворил ему Иисус.
40 Когда же возвратился Иисус, народ принял Его, потому что все ожидали Его.
41 И вот, пришел человек, именем Иаир, который был начальником синагоги; и, пав к ногам Иисуса, просил Его войти к нему в дом,
42 потому что у него была одна дочь, лет двенадцати, и та была при смерти. Когда же Он шел, народ теснил Его.
43 И женщина, страдавшая кровотечением двенадцать лет, которая, издержав на врачей всё имение, ни одним не могла быть вылечена,
44 подойдя сзади, коснулась края одежды Его; и тотчас течение крови у ней остановилось.
45 И сказал Иисус: кто прикоснулся ко Мне? Когда же все отрицались, Петр сказал и бывшие с Ним: Наставник! народ окружает Тебя и теснит,- и Ты говоришь: кто прикоснулся ко Мне?
46 Но Иисус сказал: прикоснулся ко Мне некто, ибо Я чувствовал силу, исшедшую из Меня.
47
Женщина, видя, что она не утаилась, с трепетом подошла и, пав пред Ним, объявила Ему перед всем народом, по какой причине прикоснулась к Нему и как тотчас исцелилась.
48 Он сказал ей: дерзай, дщерь! вера твоя спасла тебя; иди с миром.
49 Когда Он еще говорил это, приходит некто из дома начальника синагоги и говорит ему: дочь твоя умерла; не утруждай Учителя.
50 Но Иисус, услышав это, сказал ему: не бойся, только веруй, и спасена будет.
51 Придя же в дом, не позволил войти никому, кроме Петра, Иоанна и Иакова, и отца девицы, и матери.
52 Все плакали и рыдали о ней. Но Он сказал: не плачьте; она не умерла, но спит.
53 И смеялись над Ним, зная, что она умерла.
54 Он же, выслав всех вон и взяв ее за руку, возгласил: девица! встань.
55 И возвратился дух ее; она тотчас встала, и Он велел дать ей есть.
56 И удивились родители ее. Он же повелел им не сказывать никому о происшедшем.

1, 1, 2, 3, 5, 8 или как я поборол Фибоначчи-зависимость / Хабр

Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Числа Фибоначчи мы можем заметить во многих объектах природы, в соотношении пропорций туловища или увидеть реализацию спирали Фибоначчи в раковине моллюска.

С недавнего времени мне не дают покоя эти самые числа Фибоначчи! С какими бы материалами по параллельному программированию я не знакомился, я всюду встречаю эти числа. Возникает ощущение, что все параллельное программирование связано исключительно с проблемой вычислений чисел Фибоначчи.

Вычисление чисел Фибоначчи приводится во множестве печатных и электронных статей. Даже Wikipedia-статья о Parallel computing содержит пример их вычисления.

Какой пример любят приводить разработчики Cilk? Конечно, вычисление чисел Фибоначчи. Числа Фибоначчи в проспекте Cilk «Parallelism for the Masses». Числа Фибоначчи в описании Cilkview. Про Фибонначи идет речь в «Cilk Reference Manual». Проще говоря, везде.

Числа Фибоначчи используются для демонстрации средства автоматического динамического распараллеливания «Т-система», разработанного в рамках суперкомпьютерной программы «СКИФ» Союзного государства России и Беларуси: «Т-Система с открытой архитектурой», «Учебное пособие по языку T++».

Вокруг чисел Фибоначчи разворачиваются священные войны!

Этот список можно продолжать и продолжать. Фибомания какая-то. 🙂

Собственно такое частое упоминание Фибоначчи понятно. Простой и наглядный пример, демонстрирующий принципы распараллеливания, но приводимый излишне часто. Есть, конечно, и другие примеры, демонстрирующие распараллеливание алгоритмов. Но все они чаще всего являются решением какой-то математической задачи. Это плохо и я остановлюсь на этом моменте подробнее.

Роль чисел Фибоначчи и других аналогичных математических примеров является, как ни странно, тормозом в истории популяризации параллельного программирования. Все эти статьи с примерами параллельной сортировки и математических вычислений наводят на мысль, что параллельное программирование это что-то отдаленное, удел математиков решающих свои специфические задачи.

Примеры с числами Фибоначчи, вместо того, что бы продемонстрировать как легко и эффективно можно распараллелить программу, оставляют у программиста-прикладника ощущение, что к его программам это никакого отношения не имеет. Он мыслит не в математических алгоритмах, а в форме работы с GUI, в терминах «файлы» и «здесь мне нужно очистить массив». Возможно, у него есть потребность в ускорении программного комплекса. Но это никак не связывается с параллельностью, так как он не видит в своем проекте тех алгоритмов для распараллеливания, про которые пишут в статьях и книгах.

Многоядерные системы представляют разработчику множество путей повышения эффективности их программ. Но литература часто смотрит на это с крайней позиции распараллеливания и изменения счетных алгоритмов. Хотя есть множество других уровней распараллеливания. И следует не забывать рассказывать о них разработчику и приводить соответствующие примеры. Один пример из своей практики я могу привести прямо сейчас.

Одним из этапов развития нашего инструмента PVS-Studio было использование возможностей многоядерной системы. Статический анализ кода больших проектов может занимать часы, и скорость обработки является важной характеристикой таких инструментов.

Мы начали обсуждение, как распараллелить нашу систему и сразу ушли в неверном направлении, совершенно этого не заметив. Причина этому — мышление в рамках информационных ресурсов по параллельности, сосредоточенных на технологиях и методиках распараллеливания различных алгоритмов. Первые мысли были направлены на то, выбрать ли OpenMP или иную технологию, как распараллелить обход синтаксического дерева. И на прочие глупости в этом роде. А решение лежало на поверхности, было элегантным и простым в реализации.

Хорошо, что распараллеливание алгоритмов статического анализа явилось сложной задачей и в ходе размышлений мы поднялись на более высокий уровень абстракции. Нам незачем быстро обрабатывать один файл с исходным кодом. Он обрабатывается и так достаточно быстро. Проблема в обработке множества файлов. Так будем обрабатывать эти файлы параллельно! Просто запустим параллельно несколько анализаторов (создадим несколько процессов) и соберем выдаваемую ими информацию. Не надо OpenMP, не надо думать над синхронизациями, не нужно искать узкие места и проверять эффективность распараллеливания.

Описанное решение было реализовано и отлично работает. Такое решение кажется очевидным? Безусловно. Не буду врать, что нам понадобилось много времени, чтобы прийти к нему. Но в других задачах все может быть не так очевидно. Легко можно увлечься выискиванием неэффективных участков в программе, их распараллеливанием, затем выявлением в них ошибок. Очень легко забыть взглянуть на задачу с более высоких уровней. Рассмотрение примеров типа Фибоначчи как раз способствуют такой забывчивости. Программирование параллельных систем намного более многогранный вопрос. Но осветить эту многогранность часто незаслуженно забывают, сосредотачиваясь на определенной технологии или методике распараллеливания.

Я клоню к тому, что прежде чем начинать перестройки алгоритмов, следует поискать методы «простой параллельности». В некоторых случай это просто, как в приведенном выше примере. Этот же подход с отдельной обработкой файлов можно применить в пакете перекодирования картинок. В других системах таких объектов для параллельной обработки может не быть, но их можно попробовать выделить в отдельные сущности. Главное не забывать взглянуть сверху.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.


Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник



Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.

Поделиться:   

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка.  + Признаки делимости на 11,13,25,36.

  • Признак делимости на 2:если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если нечетной цифрой, то число без остатка не делится на 2. Короче говоря, четное число делится на 2, нечетное не делится на 2.
  • Признак делимости на 3 : если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр не делится на 3, то и число не делится на 3. Примеры: а)276 делится на 3, так как 2 + 7 + 6 = 15, а 15 делится на 3; б)563 не делится на 3, так как 5 + 6 + 3 = 14, а 14 не делится на 3.
  • Признак делимости на 4 : число делится на 4, если оканчивается на 00, или число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 536 делится на 4, так как 36 делится на 4; б)8422 не делится на 4, так как 22 не делится на 4.
  • Признак делимости на 5 : если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.а)370 и 1485 делятся без остатка на 5; б)числа 537 и 4008 без остатка на 5 не делятся.
  • Признак делимости на 6 : число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае оно на 6 не делится. Примеры: а)2862 делится на 6, так как 2862 делится и на 2, и на 3; б)3754 не делится на 6, так как 3754 не делится на 3
  • Признак делимости на 8 : число делится на 8, если оканчивается на 000, или число, составленное из трех последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 000 делится на 0, так как оканчивается на 000; б)8422 не делится на 8, так как 422 не делится на 8.
  • Признак делимости на 9 : если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9. Примеры: а)5787 делится на 9, так как 5 + 7 + 8 + 7= 27, а 27 делится на 9; б)359 не делится на 9, так как 3 + 5 + 9 = 17, а 17 не делится на 9.
  • Признак делимости на 10 : если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Примеры: а)680 делится на 10; б)104 не делится на 10 без остатка.

Для отличников:

  • Признак делимости на 11: натуральное число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Примеры: а) 1234761 делится на 11; б) 252747 делится на 11;
  • Признак делимости на 13: чтобы узнать делится ли число на 13, необходимо от этого числа без последних трех цифр отнять число из трех последних цифр, если разность делится на 13 то и заданное число делится на 13 Примеры: а)5525 делится на 13; б)18928 делится на 13;
  • Признак делимости на 25: число делится на 25, если его последние две цифры – нули или образуют число, делящееся на 25. Примеры: а)625 делится на 25; б)18900 делится на 25;
  • Признак делимости на 36: число делится на 36, если оно в одно время делится на 4 и 9
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Biogen (BIIB) — дивиденды компании, график стоимости акций. Прогноз цены Biogen (BIIB) :: РБК Инвестиции

Сравнение компаний

Biogen 2,81

Pfizer 3,32

Gilead Sciences 3,58

Celgene 9,07

Regeneron Pharmaceuticals 3,5

Eli Lilly 26,58

Illumina 4,8

Vertex Pharmaceuticals 7,8

Fibrogen 5,84

ИСКЧ 13,96

AstraZeneca 4,7

ChemoCentryx 5,92

Allogene 1,32

Axsome 71,64

BioXcel 1,88

Esperion -1,28

G1 2,67

TCR2 0,31

Vir Biotechnology 2,2

Novavax -17,98

Biogen 19,8

Pfizer 11,67

Gilead Sciences 12,1

Celgene 14,06

Regeneron Pharmaceuticals 8,13

AbbVie 22,6

Bristol-Myers Squibb 21,88

Abbott Laboratories 30,15

Eli Lilly 42,75

Illumina 67,69

Vertex Pharmaceuticals 25,04

Fibrogen —

ИСКЧ 21 615,12

AstraZeneca 1 646,81

ChemoCentryx —

Allogene —

Axsome —

BioXcel —

Esperion —

G1 —

TCR2 —

Vir Biotechnology 5,95

Novavax —

Biogen 2,81

Pfizer 3,16

Gilead Sciences 2,76

Celgene 4,87

Regeneron Pharmaceuticals 4,08

AbbVie 4,64

Bristol-Myers Squibb 3,3

Abbott Laboratories 4,95

Eli Lilly 8,43

Illumina 11,4

Vertex Pharmaceuticals 7,74

Fibrogen 5,19

ИСКЧ 5,3

AstraZeneca 4,93

ChemoCentryx 52,59

Allogene 31,47

Esperion 3,22

G1 12,17

Vir Biotechnology 2,87

Novavax 5,52

Biogen 14,72

Pfizer 9,31

Gilead Sciences 8,62

Celgene 9,74

Regeneron Pharmaceuticals 5,75

AbbVie 11,18

Abbott Laboratories 20,32

Eli Lilly 30

Vertex Pharmaceuticals 16,35

Fibrogen -6,36

ИСКЧ 21,27

AstraZeneca 23,75

ChemoCentryx -20,2

Allogene -7,99

Axsome -10,92

BioXcel -5,81

Esperion -0,45

G1 -1,52

TCR2 -0,73

Vir Biotechnology 9,25

Novavax -5,68

Biogen 0,14

Pfizer 0,3

Gilead Sciences 0,31

Celgene 0,65

Regeneron Pharmaceuticals 0,51

AbbVie 0,88

Bristol-Myers Squibb 0,19

Abbott Laboratories 0,21

Eli Lilly 0,73

Illumina 0,1

Vertex Pharmaceuticals 0,27

Fibrogen -0,95

ИСКЧ 0

AstraZeneca 0

ChemoCentryx -0,41

Allogene -0,26

Axsome -2,31

BioXcel -0,45

Esperion 0,95

G1 -0,76

TCR2 -0,3

Vir Biotechnology 0,57

Novavax -3,68

Biogen 0

Pfizer 1,28

Gilead Sciences 0

Celgene 2,52

Regeneron Pharmaceuticals 0,23

AbbVie 3,21

Abbott Laboratories 1,68

Eli Lilly 2,13

Vertex Pharmaceuticals 0,29

Fibrogen -0,19

ИСКЧ 1,12

AstraZeneca 3,35

ChemoCentryx -0,19

Allogene 0

Axsome 0

BioXcel 0

Esperion 0

G1 0

TCR2 0

Vir Biotechnology 0

Novavax -0,05

Арифметическая последовательность: -7,-2,3,8,13

Арифметическая последовательность: -7,-2,3,8,13

Этот сайт лучше всего просматривать с помощью Javascript. Если вы не можете включить Javascript, нажмите здесь.

Вход камеры не распознан!

Мы думаем, что вы написали:

Это касается арифметических последовательностей.

Общая разность равна:

5

Сумма последовательности равна:

15

Явная формула этой последовательности:

a_n=-7+(n-1)*5

Рекурсивная формула этой последовательности:

a_n=a_((n-1))+5

N-е слагаемое:

-7,-2,3,8,13,18,23,28…

1. Найдите общую разность

Найдите общую разность, вычитая любой член последовательности из следующего за ним члена.

Разница в последовательности постоянна и равна разнице между двумя последовательными элементами.

2. Найдите сумму

Вычислите сумму последовательности, используя формулу суммы:

Сумма этой последовательности равна .

Этот ряд соответствует следующей прямой

3.Найдите явную форму

Формула для выражения арифметических последовательностей в их явной форме:

Подставьте термины.
(это 1-й член)
(это общая разность)
(это n-й член)
(это позиция члена)

Явный вид этой арифметической последовательности:

4. Найдите рекурсивную form

Формула для выражения арифметических последовательностей в их рекурсивной форме:

Подставьте член d.
(это общее отличие)

Рекурсивная форма этой арифметической последовательности:

5. Найдите n-й элемент

Зачем учить это

Когда приедет следующий автобус? Сколько человек может поместиться на стадионе? Сколько денег я заработаю в этом году? На все эти вопросы можно ответить, изучив, как работают арифметические последовательности. Ход времени, треугольные узоры (например, кегли для боулинга) и увеличение или уменьшение количества могут быть выражены в виде арифметических последовательностей.

Термины и темы

Ссылки по теме

Числа Фибоначчи (последовательность)

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , …

Числа Фибоначчи (первые 14 перечислены выше) являются последовательность чисел, определяемых рекурсивно по формуле

Ф 0 знак равно 1
Ф 1 знак равно 1
Ф н знак равно Ф н − 2 + Ф н − 1 куда н ≥ 2 .

Каждый член последовательности , после первых двух, является суммой двух предыдущих членов.

1 + 1 знак равно 2 , 1 + 2 знак равно 3 , 2 + 3 знак равно 5 , 3 + 5 знак равно 8 , 5 + 8 знак равно 13 и так далее

Эта последовательность чисел была впервые создана Леонардо Фибоначчи в 1202 .Это обманчиво простая серия с почти безграничными возможностями применения. Математики были очарованы им почти 800 годы. Бесчисленное количество математиков добавили кусочки информации о последовательности и о том, как она работает. Это встречается повсюду в природе в таких вещах, как спиралевидные узоры из листьев и семян. Он играет значительную роль в искусстве и архитектуре.

Когда вы найдете отношение последовательных чисел в последовательности Фибоначчи и разделите каждое из них на предыдущее, вы обнаружите, что значение становится все ближе и ближе к 1.61538… , что является близким приближением к Золотое сечение , точное значение которого 1 + 5 2 . Золотое сечение – это отношение длины к ширине Золотой прямоугольник . Обе эти увлекательные темы требуют дальнейших исследований с вашей стороны.

арифметических последовательностей и рядов

Арифметические последовательности

Арифметическая последовательностьПоследовательность чисел, в которой каждое последующее число является суммой предыдущего числа и некоторой константы d ., или арифметическая прогрессия. Используется при обращении к арифметической последовательности., представляет собой последовательность чисел, где каждое последующее число является суммой предыдущего числа и некоторой константы d .

an=an−1+d   Арифметика Последовательность

А поскольку an-an-1=d, константа d называется общей разностью. Константа d получается вычитанием любых двух последовательных членов арифметической прогрессии; an−an−1=d.. Например, последовательность положительных нечетных целых чисел является арифметической последовательностью,

1,3,5,7,9,…

Здесь a1=1, а разница между любыми двумя последовательными членами равна 2.Мы можем построить общий термин an=an−1+2, где

а1=1а2=а1+2=1+2=3а3=а2+2=3+2=5а4=а3+2=5+2=7а5=а4+2=7+2=9⋮

В общем случае, учитывая первый член a1 арифметической прогрессии и его общую разность d , мы можем написать следующее:

a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3da5=a4+d=(a1+3d)+d =a1+4d⋮

Отсюда мы видим, что любая арифметическая последовательность может быть записана через ее первый элемент, общую разность и индекс следующим образом:

an=a1+(n−1)d   Арифметика Последовательность

На самом деле любой общий терм, линейный по n , определяет арифметическую последовательность.

Пример 1

Найдите уравнение для общего члена данной арифметической прогрессии и используйте его для вычисления ее 100 го члена: 7,10,13,16,19,…

Решение:

Начните с поиска общей разницы,

д=10-7=3

Обратите внимание, что разница между любыми двумя последовательными членами равна 3. Последовательность действительно представляет собой арифметическую прогрессию, где a1=7 и d=3.

an=a1+(n−1)d=7+(n−1)⋅3=7+3n−3=3n+4

Таким образом, мы можем записать общий термин an=3n+4. Потратьте минуту, чтобы убедиться, что это уравнение описывает заданную последовательность. Используйте это уравнение, чтобы найти 100 й термин:

а100=3(100)+4=304

Ответ: an=3n+4; а100=304

Общая разность арифметической последовательности может быть отрицательной.

Пример 2

Найдите уравнение для общего члена данной арифметической прогрессии и используйте его для вычисления ее 75 го члена: 6,4,2,0,−2,…

Решение:

Начните с поиска общей разницы,

д=4−6=−2

Затем найдите формулу для общего члена, здесь a1=6 и d=−2.

an=a1+(n−1)d=6+(n−1)⋅(−2)=6−2n+2=8−2n

Таким образом, an=8−2n и 75 член можно вычислить следующим образом:

а75=8−2(75)=8−150=−142

Ответ: an=8−2n; а100=-142

Члены между заданными членами арифметической прогрессии называются средними арифметическими Членами между заданными членами арифметической прогрессии..

Пример 3

Найдите все члены арифметической прогрессии между a1=−8 и a7=10.Другими словами, найдите все средние арифметические между членами 1 st и 7 th .

Решение:

Начните с нахождения общей разности d . В этом случае нам дано первое и седьмое слагаемое:

an=a1+(n−1)d  Использование n=7.a7=a1+(7−1)da7=a1+6d

Подставьте a1=-8 и a7=10 в приведенное выше уравнение, а затем найдите общую разность d .

10=−8+6d18=6d3=d

Далее, используя первый член a1=-8 и общую разность d=3, найдите уравнение для n -го члена последовательности.

an=-8+(n-1)⋅3=-8+3n-3=-11+3n

При an=3n−11, где n — натуральное число, найдите недостающие члены.

a1=3(1)−11=3−11=−8a2=3(2)−11=6−11=−5a3=3(3)−11=9−11=−2a4=3(4)− 11=12−11=1a5=3(5)−11=15−11=4a6=3(6)−11=18−11=7     }      арифметическое среднее a7=3(7)−11=21−11=10

Ответ: −5, −2, 1, 4, 7

В некоторых случаях первый член арифметической прогрессии может не указываться.

Пример 4

Найдите общий член арифметической прогрессии, где a3=−1 и a10=48.

Решение:

Для определения формулы общего члена нам нужны a1 и d. Линейная система с этими переменными может быть сформирована с использованием данной информации и an=a1+(n−1)d:

{a3=a1+(3−1)da10=a1+(10−1)d⇒   {−1=a1+2d48=a1+9d  Использовать a3=−1. Используйте  a10=48.

Исключите a1, умножив первое уравнение на −1, и добавьте результат ко второму уравнению.

{-1 = A1 + 2D48 = A1 + 9D ⇒ × (-1) + {1 = -A1-2D48 = A1 + 9D¯ 49 = 7D7 = D

Подставьте d=7 в −1=a1+2d, чтобы найти a1.

-1=а1+2(7)-1=а1+14-15=а1

Затем используйте первый член a1=-15 и общую разность d=7, чтобы найти формулу для общего члена.

an=a1+(n−1)d=−15+(n−1)⋅7=−15+7n−7=−22+7n

Ответ: an=7n−22

Попробуйте! Найдите уравнение для общего члена данной арифметической прогрессии и используйте его для вычисления ее 100 го члена: 32,2,52,3,72,…

Ответ: an=12n+1; а100=51

Арифметический ряд

Арифметический рядСумма членов арифметического ряда.представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Например, сумма первых 5 членов последовательности, определяемой выражением an=2n−1, выглядит следующим образом:

S5=Σn=15(2n−1)=[2(1)−1]+[2(2)−1]+[2(3)−1]+[2(4)−1]+[2 (5)−1]=1+3+5+7+9=25

Добавление 5 положительных нечетных целых чисел, как мы сделали выше, вполне управляемо. Однако рассмотрите возможность добавления первых 100 положительных нечетных целых чисел. Это было бы очень утомительно. Поэтому далее мы разработаем формулу, которую можно использовать для вычисления суммы первых n членов, обозначаемых Sn, любой арифметической последовательности.В общем

Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+ан

Записав этот ряд в обратном порядке, мы имеем

Sn=an+(and-d)+(an-2d)+…+a1

И складывая эти два уравнения вместе, члены, включающие d , добавляют к нулю, и мы получаем n множителей a1+an:

2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(an+a1)2Sn=n(a1+an)

Разделив обе части на 2, мы получим формулу n -й частичной суммы арифметической прогрессии. Сумма первых n членов арифметической прогрессии задается формулой: Sn=n(a1+an)2.:

Sn=n(a1+an)2

Используйте эту формулу, чтобы вычислить сумму первых 100 членов последовательности, определяемой выражением an=2n−1. Здесь a1=1 и a100=199.

S100=100(a1+a100)2=100(1+199)2=10 000

Пример 5

Найдите сумму первых 50 членов данной последовательности: 4, 9, 14, 19, 24, …

Решение:

Определите, есть ли общее различие между данными терминами.

д=9−4=5

Обратите внимание, что разница между любыми двумя последовательными членами равна 5. Последовательность действительно представляет собой арифметическую прогрессию, и мы можем записать

an=a1+(n−1)d=4+(n−1)⋅5=4+5n−5=5n−1

Таким образом, общий термин an=5n−1. Чтобы вычислить частичную сумму 50 th этой последовательности, нам нужны члены 1 st и 50 th :

а1=4а50=5(50)−1=249

Затем используйте формулу для определения частичной суммы 50 th данной арифметической последовательности.

Sn=n(a1+an)2S50=50.(a1+a50)2=50(4+249)2=25(253)=6,325

Ответ: S50=6,325

Пример 6

Оценка: Σn=135(10−4n).

Решение:

В этом случае нас просят найти сумму первых 35 членов арифметической прогрессии с общим членом an=10−4n. Используйте это, чтобы определить термин 1 st и 35 th .

a1=10−4(1)=6a35=10−4(35)=−130

Затем используйте формулу для определения 35 й частичной суммы.

Sn=n(a1+an)2S35=35⋅(a1+a35)2=35[6+(-130)]2=35(-124)2=-2,170

Ответ: −2170

Пример 7

Первый ряд сидений в открытом амфитеатре содержит 26 мест, второй ряд — 28 мест, третий ряд — 30 мест и так далее. Если в зале 18 рядов, то какова общая вместимость театра?

Рисунок 9.2

Римский театр (Википедия)

Решение:

Начните с поиска формулы, которая дает количество мест в любом ряду.Здесь количество мест в каждом ряду образует последовательность:

.

26,28,30,…

Обратите внимание, что разница между любыми двумя последовательными членами равна 2. Последовательность представляет собой арифметическую прогрессию, где a1=26 и d=2.

an=a1+(n−1)d=26+(n−1)⋅2=26+2n−2=2n+24

Следовательно, количество мест в каждом ряду равно an=2n+24. Чтобы рассчитать общую вместимость 18 рядов, нам нужно вычислить частичную сумму 18 th .Для этого нам понадобятся 1 й и 18 й условия:

а1=26а18=2(18)+24=60

Используйте это для вычисления частичной суммы 18 th следующим образом:

Sn=n(a1+an)2S18=18⋅(a1+a18)2=18(26+60)2=9(86)=774

Ответ: Всего 774 места.

Попробуйте! Найдите сумму первых 60 членов данной последовательности: 5, 0, −5, −10, −15, …

Ответ: S60=−8 550

Ключевые выводы

  • Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой разница d между последовательными членами постоянна.
  • Общий член арифметической последовательности может быть записан через его первый член a1, общую разность d и индекс n следующим образом: an=a1+(n−1)d.
  • Арифметический ряд — это сумма членов арифметической прогрессии.
  • n -я частичная сумма арифметической прогрессии может быть вычислена с использованием первого и последнего членов следующим образом: Sn=n(a1+an)2.

Тематические упражнения

    Часть A: арифметические последовательности

      Запишите первые 5 членов арифметической прогрессии, учитывая ее первый член и общую разность.Найдите формулу для его общего члена.

      Учитывая арифметическую последовательность, найдите формулу для общего термина и используйте ее для определения 100 -го -го термина.

    1. −3, −7, −11, −15, −19,…

    2. -6, -14, -22, -30, -38,…

    3. -5, -10, -15, -20, -25,…

    4. −13, 23, 53, 83, 113,…

    5. 13, 0, −13, −23, −1,…

    6. 14, −12, −54, −2, −114,…

    7. 0.8, 2, 3.2, 4.4, 5.6,…

    8. 4,4, 7,5, 10,6, 13,7, 16,8,…

    9. Найдите 50 положительное нечетное целое число.

    10. Найдите 50 положительное четное целое число.

    11. Найти 40 член в последовательности, состоящей из всех остальных положительных нечетных целых чисел: 1, 5, 9, 13,…

    12. Найти 40 член в последовательности, состоящей из всех остальных положительных четных целых чисел: 2, 6, 10, 14,…

    13. Каким числом является член 355 в арифметической последовательности −15, −5, 5, 15, 25,…?

    14. Каким числом является член -172 в арифметической прогрессии 4, -4, -12, -20, -28,…?

    15. Для заданной арифметической последовательности, определяемой рекуррентным соотношением an=an−1+5, где a1=2 и n>1, найдите уравнение, которое дает общий член через a1 и общую разность d .

    16. Для заданной арифметической последовательности, определяемой рекуррентным соотношением an=an−1−9, где a1=4 и n>1, найдите уравнение, которое дает общий член через a1 и общую разность d .

      Учитывая члены арифметической прогрессии, найдите формулу для общего члена.

    1. a4=-2310 и a21=-252

      Найдите все средние арифметические между данными терминами.

    Часть B: Арифметический ряд

      Рассчитайте указанную сумму по формуле общего срока.

      Оценить.

    1. ∑n=1160(3n)

    2. ∑n=1121(−2n)

    3. ∑n=1250(4n−3)

    4. ∑n=1120(2n+12)

    5. ∑n=170(19−8n)

    6. ∑n=1220(5−n)

    7. ∑n=160(52−12n)

    8. ∑n=151(38n+14)

    9. ∑n=1120(1.5n−2,6)

    10. ∑n=1175(−0,2n−1,6)

    11. Найдите сумму первых 200 положительных целых чисел.

    12. Найдите сумму первых 400 положительных целых чисел.

      Общий термин для последовательности положительных нечетных целых чисел задается как an=2n−1, а общий термин для последовательности положительных четных целых чисел задается как an=2n. Найдите следующее.

    1. Сумма первых 50 положительных нечетных целых чисел.

    2. Сумма первых 200 положительных нечетных целых чисел.

    3. Сумма первых 50 положительных четных целых чисел.

    4. Сумма первых 200 положительных четных целых чисел.

    5. Сумма первых k положительных нечетных целых чисел.

    6. Сумма первых k четных положительных чисел.

    7. Первый ряд кресел в маленьком театре состоит из 8 мест. После этого в каждом ряду на 3 места больше, чем в предыдущем ряду. Если в зале 12 рядов, сколько всего мест в зале?

    8. Первый ряд сидений в открытом амфитеатре содержит 42 места, второй ряд — 44 места, третий ряд — 46 мест и так далее.Если в зале 22 ряда, какова общая вместимость театра?

    9. Если треугольная стопка кирпичей имеет 37 кирпичей в нижнем ряду, 34 кирпича во втором ряду и так далее с одним кирпичом наверху. Сколько кирпичей в стопке?

    10. В каждом последующем ряду треугольной стопки кирпичей на один кирпич меньше, пока сверху не останется только один кирпич.Сколько рядов в стопке, если всего 210 кирпичей?

    11. 10-летний контракт о зарплате предлагает 65 000 долларов в первый год с увеличением на 3 200 долларов каждый последующий год. Определить общую сумму обязательств по заработной плате за 10-летний период.

    12. Башня с часами бьет в колокол столько раз, сколько указано в часах.В час дня он бьет один раз, в два часа он бьет два раза и так далее. Сколько раз в день бьет колокол на башне с часами?

    Часть C: Дискуссионная доска

    1. Является ли последовательность Фибоначчи арифметической последовательностью? Объяснять.

    2. Используйте формулу для n -й частичной суммы арифметической последовательности Sn=n(a1+an)2 и формулу для общего члена an=a1+(n−1)d, чтобы получить новую формулу для n -я частичная сумма Sn=n2[2a1+(n−1)d].В каких случаях эта формула будет полезна? Объясните на примере собственного изготовления.

    3. Обсудите методы вычисления сумм, где индекс не начинается с 1. Например, Σn=1535(3n+4)=1,659.

    4. Известная история о плохом поведении Карла Фридриха Гаусса в школе.В наказание учитель дал ему задание сложить первые 100 целых чисел. Легенда гласит, что молодой Гаусс ответил правильно в течение нескольких секунд. Каков ответ и как, по-вашему, ему удалось так быстро найти сумму?

Ответы

  1. 5, 8, 11, 14, 17; ан=3n+2

  2. 15, 10, 5, 0, −5; ан=20−5n

  3. 12, 32, 52, 72, 92; ан=n−12

  4. 1, 12, 0, -12, -1; an=32−12n

  5. 1.8, 2,4, 3, 3,6, 4,2; ан=0,6n+1,2

  6. ан=1.2н-0,4; а100=119,6

арифметических последовательностей — средний уровень алгебры

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определить, является ли последовательность арифметической
  • Найти общий член (член) арифметической прогрессии
  • Найдите сумму первых членов арифметической прогрессии

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

  1. Вычислите целые числа 1, 2, 3 и 4.
    Если вы пропустили эту задачу, просмотрите (рисунок).
  2. Решите систему уравнений:
    Если вы пропустили эту задачу, просмотрите (Рисунок).
  3. Если найти
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Определить, является ли последовательность арифметической

В последнем разделе были представлены последовательности, а теперь мы рассмотрим два конкретных типа последовательностей, каждая из которых имеет особые свойства. В этом разделе мы рассмотрим арифметические последовательности, а в следующем разделе — геометрические.

Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой разница между последовательными элементами постоянна. Разность между последовательными членами арифметической последовательности составляет d , общая разность для n больше или равна двум.

Арифметическая последовательность

Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой разница между последовательными элементами всегда одинакова.

Разность между последовательными терминами d , общая разность , для n больше или равна двум.

В каждой из этих последовательностей разница между последовательными элементами постоянна, поэтому последовательность является арифметической.

Определите, является ли каждая последовательность арифметической. Если да, укажите общее различие.

Чтобы определить, является ли последовательность арифметической, мы находим разность показанных последовательных членов.




Если мы знаем первый член и общую разность d , мы можем перечислить конечное число членов последовательности.

Запишите первые пять членов последовательности, где первый член равен 5, а общая разность равна

.

Начнем с первого члена и добавим общую разность. Затем мы добавляем общую разность к этому результату, чтобы получить следующий член, и так далее.

Последовательность

Запишите первые пять членов последовательности, где первый член равен 7, а общая разность равна

.

Запишите первые пять членов последовательности, где первый член равен 11, а общая разность равна

.

Найти общий член (

n -й член) арифметической последовательности

Точно так же, как мы нашли формулу для общего члена последовательности, мы также можем найти формулу для общего члена арифметической прогрессии.

Запишем несколько первых членов последовательности, где первый член равен d , а общая разность равна . Дальше будем искать закономерность.

При поиске шаблона мы видим, что каждый терм начинается с .

Первый член добавляет 0 d к , второй член добавляет 1 d , третий член добавляет 2 d , четвертый член добавляет 3 d , а пятый член добавляет 4 d . Количество добавленных d на единицу меньше, чем номер термина.Это приводит нас к следующему

Общий термин ( n -й член) арифметической последовательности

Общий член арифметической прогрессии с первым членом и общей разностью d равен

Мы будем использовать эту формулу в следующем примере, чтобы найти 15-й -й член последовательности.

Найдите пятнадцатый член последовательности, где первый член равен 3, а общая разность равна 6.

Найдите двадцать седьмой член последовательности, где первый член равен 7, а общая разность равна 9.

Найдите восемнадцатый член последовательности, где первый член равен 13, а общая разность равна .

Иногда мы не знаем первый термин, и мы должны использовать другую информацию, чтобы найти его, прежде чем мы найдем запрошенный термин.

Найдите двенадцатый член последовательности, где седьмой член равен 10, а общая разность равна . Приведите формулу общего члена.

Найдите одиннадцатый член последовательности, где девятый член равен 8, а общая разность равна Приведите формулу для общего члена.

Общий термин

Найдите девятнадцатый член последовательности, где пятый член равен 1, а общая разность равна 1. Приведите формулу для общего члена.

Общий термин

Иногда предоставленная информация приводит нас к двум уравнениям с двумя неизвестными. Затем мы используем наши методы решения систем уравнений, чтобы найти необходимые значения.

Найдите первый член и общую разность последовательности, где пятый член равен 19, а одиннадцатый член равен 37.Приведите формулу общего члена.

Поскольку мы знаем два термина, мы можем составить систему уравнений, используя формулу для общего термина.

Найдите первый член и общую разность последовательности, где четвертый член равен 17, а тринадцатый член равен 53. Приведите формулу общего члена.

Найдите первый член и общую разность последовательности, в которой третий член равен 2, а двенадцатый член равен Приведите формулу для общего члена.

Найдите сумму первых

n членов арифметической последовательности

Как и в случае обычных последовательностей, часто бывает полезно найти сумму арифметической последовательности.Сумма первых членов любой арифметической последовательности записывается как Найти сумму, просто сложив все члены, может быть утомительно. Таким образом, мы также можем разработать формулу для нахождения суммы последовательности, используя первый и последний член последовательности.

Мы можем развить эту новую формулу, сначала написав сумму, начав с первого члена, и продолжая добавлять d , чтобы получить следующий член как:

Мы также можем изменить порядок слагаемых и записать сумму, начав с и продолжая вычитать , чтобы получить следующий член как

.

Если мы сложим эти два выражения для суммы первых n членов арифметической последовательности, мы сможем получить формулу для суммы первых n членов любой арифметической последовательности.

 *** QuickLaTeX не может скомпилировать формулу:
\begin{array}{c}\underset{\text{_________________________________________________________}}{\begin{array}{ccccccccccc}\hfill {S}_{n}& =\hfill & {a}_{1}\hfill & \phantom{\rule{1.9em}{0ex}}+\hfill & \left({a}_{1}+d\right)\hfill & +\hfill & \left({a}_{1}+ 2d\справа)\hfill & +\hfill & \dots \hfill & +\hfill & {a}_{n}\hfill \\ +{S}_{n}\hfill & =\hfill & {a}_ {n}\hfill & \phantom{\rule{1.9em}{0ex}}+\hfill & \left({a}_{n}-d\right)\hfill & +\hfill & \left({a }_{n}-2d\right)\hfill & +\hfill & \dots \hfill & +\hfill & {a}_{1}\hfill \end{массив}}\hfill \\ \\ \phantom{ \правило{1.8em}{0ex}}2{S}_{n}\phantom{\rule{0.6em}{0ex}}=\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\left({a}_{1 }+{a}_{n}\right)+\phantom{\rule{0.05em}{0ex}}\left({a}_{1}+{a}_{n}\right)\phantom{ \rule{0.5em}{0ex}}+\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\left({a}_{1}+{a}_{n}\right)\phantom{\rule {0.6em}{0ex}}+\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\dots \phantom{\rule{0.5em}{0ex}}+\phantom{\rule{0.5em}{0ex} }\left({a}_{1}+{a}_{n}\right)\hfill \end{массив}

*** Сообщение об ошибке:
Отсутствует $ вставлен.
начальный текст: ...fill & +\hfill & {a}_{1}\hfill \end{массив}}
Отсутствует {вставлено.начальный текст: ...fill & +\hfill & {a}_{1}\hfill \end{массив}}
Отсутствует {вставлено.
начальный текст: ...fill & +\hfill & {a}_{1}\hfill \end{массив}}
Отсутствует {вставлено.
начальный текст: ...fill & +\hfill & {a}_{1}\hfill \end{массив}}
Отсутствует {вставлено.
начальный текст: ...fill & +\hfill & {a}_{1}\hfill \end{массив}}
Отсутствует {вставлено.
начальный текст: ...fill & +\hfill & {a}_{1}\hfill \end{массив}}
Отсутствует {вставлено.
ведущий текст: ...fill & +\hfill & {a}_{1}\hfill \end{массив}}
Отсутствует {вставлено.
начальный текст: ...fill & +\hfill & {a}_{1}\hfill \end{массив}}
Отсутствует {вставлено.
начальный текст: ...fill & +\hfill & {a}_{1}\hfill \end{массив}}
Отсутствует {вставлено.
начальный текст: ...fill & +\hfill & {a}_{1}\hfill \end{массив}}

 

Поскольку в правой части уравнения имеется n сумм, мы перепишем правую часть как

Делим на два, чтобы получить

Это дает нам общую формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Сумма первых n Члены арифметической последовательности

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна

где — первый член, а -й член.

Мы применяем эту формулу в следующем примере, где даны первые несколько членов последовательности.

Найдите сумму первых 30 членов арифметической прогрессии: 8, 13, 18, 23, 28, …

Найдите сумму первых 30 членов арифметической прогрессии: 5, 9, 13, 17, 21, …

Найдите сумму первых 30 членов арифметической прогрессии: 7, 10, 13, 16, 19, …

В следующем примере нам дан общий член последовательности, и нас просят найти сумму первых 50 членов.

Найдите сумму первых 50 членов арифметической прогрессии, общий член которой равен

.

Найдите сумму первых 50 членов арифметической прогрессии, общий член которой равен

.

В следующем примере нам дана сумма в виде суммирования. Складывать все члены было бы утомительно, поэтому мы извлекаем информацию, необходимую для использования формулы для нахождения суммы первых n членов.

Найдите сумму:

Найдите сумму:

Практика делает совершенным

Определить, является ли последовательность арифметической

В следующих упражнениях определите, является ли каждая последовательность арифметической, и если да, укажите общую разницу.

Последовательность является арифметической с общей разностью

Последовательность не является арифметической.

Последовательность является арифметической с общей разностью

В следующих упражнениях запишите первые пять членов каждой последовательности с данным первым членом и общей разностью.

и

и

и

Найти общий член ( n -й член) арифметической последовательности

В следующих упражнениях найдите описываемый термин, используя предоставленную информацию.

Найдите двадцать первый член последовательности, где первый член равен трем, а общая разность равна восьми.

Найдите двадцать третий член последовательности, где первый член равен шести, а общая разность равна четырем.

Найдите тридцатый член последовательности, где первый член равен, а общая разность равна пяти.

Найдите сороковой член последовательности, где первый член равен, а общая разность равна семи.

Найдите шестнадцатый член последовательности, где первый член равен 11, а общая разность равна

.

Найдите четырнадцатый член последовательности, где первый член равен восьми, а общая разность равна

.

Найдите двадцатый член последовательности, где пятый член равен, а общая разность равна Дайте формулу для общего члена.

Общий термин

Найдите тринадцатый член последовательности, где шестой член равен, а общая разность равна Дайте формулу общего члена.

Найдите одиннадцатый член последовательности, где третий член равен 19, а общая разность равна пяти. Приведите формулу общего члена.

Общий термин

Найдите пятнадцатый член последовательности, где десятый член равен 17, а общая разность равна семи. Приведите формулу общего члена.

Найдите восьмой член последовательности, где седьмой член равен, а общая разность равна Дайте формулу для общего члена.

Общий термин

Найдите пятнадцатый член последовательности, где десятый член равен, а общая разность равна Дайте формулу для общего члена.

В следующих упражнениях найдите первый член и общую разность последовательности с данными членами. Приведите формулу общего члена.

Второй член равен 14, а тринадцатый член равен 47.

Третий член равен 18, а четырнадцатый член равен 73.

Второй член равен 13, а десятый член равен

.

Третий член равен четырем, а десятый член равен .

Четвертый член равен, а пятнадцатый член равен 27.

Третий член равен, а семнадцатый член равен 15.

Найдите сумму первых n Членов арифметической последовательности

В следующих упражнениях найдите сумму первых 30 членов каждой арифметической прогрессии.

В следующих упражнениях найдите сумму первых 50 членов арифметической прогрессии, общий член которой дан.

В следующих упражнениях найдите каждую сумму.

Письменные упражнения

Объясните своими словами, как определить, является ли последовательность арифметической.

Своими словами объясните, как первые два члена используются для нахождения десятого члена. Покажите пример, иллюстрирующий ваше объяснение.

Объясните своими словами, как найти общий член арифметической прогрессии.

Объясните своими словами, как найти сумму первых членов арифметической прогрессии без сложения всех членов.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

ⓑ Изучив этот контрольный список, что вы сделаете, чтобы стать уверенным в выполнении всех задач?

Глоссарий

арифметическая последовательность
Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой разница между последовательными элементами постоянна.
общая разность
Разность между последовательными членами арифметической последовательности равна d , общая разность для n больше или равна двум.

Номерная последовательность – объяснение и примеры

Числовая последовательность является важным математическим инструментом для проверки интеллекта человека. Проблемы с числовыми рядами распространены на большинстве экзаменов на управленческие способности.

Задачи основаны на числовом шаблоне, который подчиняется логическому правилу.Например, вас могут попросить предсказать следующее число в данной серии, следуя установленному правилу.

На этом экзамене можно задать три основных вопроса:

  1. Укажите термин, который неправильно помещен в данную серию.
  2. Найдите недостающее число в определенной серии.
  3. Завершите указанную серию.

Что такое порядковый номер?


Числовая последовательность — это последовательность или упорядоченный список чисел, управляемый шаблоном или правилом.Числа в последовательности называются терминами. Последовательность, которая продолжается бесконечно без завершения, является бесконечной последовательностью, тогда как последовательность с концом известна как конечная последовательность.

Логические числовые задачи обычно состоят из одного или двух пропущенных чисел и 4 или более видимых терминов.

В этом случае разработчик тестов создает последовательность, в которой только один соответствует номеру. Изучая и вырезая последовательность чисел, человек может отточить свои способности к численному мышлению, что помогает в нашей повседневной деятельности, такой как расчет налогов, кредитов или ведение бизнеса.В этом случае важно выучить и попрактиковаться в числовой последовательности.

Пример 1

Какой список чисел составляет последовательность?

  1. 6, 3, 10, 14, 15, _ _ _ _ _ _
  2. 4,7, 10, 13, _ _ _ _ _ _

Первый список чисел делает

не сделать последовательность, потому что числам не хватает правильного порядка или шаблона.

Другой список представляет собой последовательность, потому что есть правильный порядок получения предыдущего числа.Последовательное число получается прибавлением 3 к предыдущему целому числу.

9003

Пример 2

Найти недостающие термины в следующей последовательности:

8, _, 16, _, 24, 28, 32

Решение

три последовательных числа, 24, 28 , и 32, проверяются, чтобы найти этот шаблон последовательности и полученное правило. Вы можете заметить, что соответствующее число получается прибавлением 4 к предыдущему числу.

Таким образом, отсутствующие члены: 8 + 4 = 12 и 16 + 4 = 20

  Пример 3

12, 20,  n , 36, 44,

Решение

Определите структуру последовательности, найдя разницу между двумя последовательными элементами.

44 – 36 = 8 и 20 – 12 = 8.

Образец последовательности, таким образом, является добавлением 8 к предыдущему члену.

Итак,

n  = 20 + 8 = 28.

Какие существуют типы последовательностей чисел?

Числовых последовательностей много, но чаще всего используются арифметическая и геометрическая последовательности. Давайте посмотрим их один за другим.

Арифметическая последовательность

Это тип числовой последовательности, в которой следующий член находится путем прибавления постоянного значения к предыдущему.Когда первый член, обозначенный как x 1 , а d является общей разностью между двумя последовательными терминами, последовательность обобщается следующей формулой:

x n = x 1 + (n-1) d

где;

x n это n термин

x 1 это первый термин, n это количество терминов и d это общая разница между двумя последовательными терминами.

Пример 4

Возьмем пример последовательности чисел: 3, 8, 13, 18, 23, 28……

Общая разница находится как 8 – 3 = 5;

Первый член равен 3.Например, чтобы найти термин 5 th , используя арифметическую формулу; Замените значения первого члена на 3, общую разность на 5 и n = 5

5 th член =3 + (5-1) 5

=23

Пример 5

3

3 Важно отметить, что общая разность не обязательно является положительным числом. Может быть отрицательная общая разность, как показано в числовом ряду ниже:

25, 23, 21, 19, 17, 15…….

Общая разница в этом случае равна -2. Мы можем использовать арифметическую формулу, чтобы найти любой член ряда. Например, чтобы получить 4 -го -го термина.

4 th член =25 + (4-1) – 2

=25 – 6

=19

Геометрический ряд

Геометрический ряд – это числовой ряд, в котором следующее или последующее число получается путем умножения предыдущее число на константу, известную как обыкновенное отношение. Геометрический числовой ряд обобщается формулой:

х n = х 1 × r n-1

где;

x n = n член,

x 1 = первый член,

r = обыкновенное отношение и

n = количество членов.

Пример 6

Например, для такой последовательности, как 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …, член n th можно вычислить с помощью геометрической формулы.

Чтобы вычислить 7 -й член, идентифицируйте первый как 2, обыкновенное отношение как 2 и n = 7.

= 2 x 64

= 128

= 128

Пример 7

Геометрическая серия может состоять из уменьшения терминов, как показано в следующем примере:

2187, 729, 243, 81,

в В этом случае обычное отношение находится путем деления предшествующего члена на следующий.Этот ряд имеет общее отношение 3.

Треугольный ряд

Это числовой ряд, в котором первый член представляет члены, связанные с точками, представленными на рисунке. Для треугольного числа точка показывает количество точек, необходимое для заполнения треугольника. Треугольный числовой ряд задается; Пример 8 ….

Этот узор создается из точек, заполняющих треугольник. Можно получить последовательность, добавив точки в другой ряд и подсчитав все точки.

Квадратный ряд

Квадратное число упрощает произведение целого числа на себя. Квадратные числа всегда положительны; формула представляет квадратное число ряда

x n = n 2

Пример 9

Взгляните на ряд квадратных чисел; 4, 9, 16, 25, 36……….Эта последовательность повторяется путем возведения в квадрат следующих целых чисел: 2, 3, 4, 5, 6…….

Кубический ряд

Кубический числовой ряд представляет собой ряд, полученный путем трехкратного умножения числа на само себя. Общая формула для ряда кубических чисел:

x n = n 3

ряд Фибоначчи

Математический ряд состоит из шаблона, в котором следующий член получается путем добавления двух членов впереди.

Пример 10

Пример ряда чисел Фибоначчи:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Например, третий член этого ряда рассчитывается как 0+1+1=2.Точно так же член 7 th рассчитывается как 8 + 5 = 13.

Двойная серия

По определению, двойная числовая серия представляет собой комбинацию двух серий. Чередующиеся члены ряда близнецов могут порождать другой независимый ряд.

Примером двойного ряда является 3, 4, 8, 10,13, 16, …..При внимательном изучении этого ряда генерируются два ряда: 1, 3, 8,13 и 2, 4, 10,16.

Арифметико-геометрическая последовательность

Это последовательность, образованная комбинацией арифметической и геометрической последовательностей.Разница последовательных членов в этом типе ряда порождает геометрический ряд. Возьмем пример этой арифметико-геометрической последовательности:

1, 2, 6, 36, 44, 440, …

Смешанный ряд

Этот тип ряда представляет собой ряд, созданный без надлежащего правила.

Пример 11

Например; 10, 22, 46, 94, 190, …., можно решить, используя следующие шаги:

10 x 2 = 20 + 2 = 22

22 x 2 = 44 + 2 = 46

46 x 2 = 92 + 2 = 94

190 x 2 = 380 + 2 = 382

Таким образом, пропущенный член равен 382.

Образец числа

Образец числа обычно представляет собой последовательность или образец в ряду терминов. Например, числовой образец в следующем ряду равен +5:

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30………

Чтобы решить проблемы с числовым образцом, внимательно проверьте правило, управляющее шаблоном. .

Попробуйте выполнить сложение, вычитание, умножение или деление между последовательными терминами.

Заключение

Таким образом, задачи, связанные с числовым рядом и образцом, требуют проверки взаимосвязи между этими числами.Вы должны проверить арифметические отношения, такие как вычитание и сложение. Проверьте наличие геометрических отношений, разделив и умножив члены, чтобы найти их общее отношение.

 

Последовательности: более общие примеры

Находка следующий номер в последовательности:
     Еще Общие примеры
(стр. 5 из 7)

Разделы: Общий различия, Рекурсии, Общие примеры, Нематематические «последовательности»


  • Найди пропажу термин в последовательности: 1, 3 / 2 , ___, 7 / 8 , 9 / 16  

    Иногда при работе с дробями они действительно дали вам две последовательности в одной.В этом случае, если смотреть на числители и знаменатели отдельно:

      1, 3, ___, 7, 9
      1, 2, ___, 8, 16

    Появляются числители считать двойками; знаменатели удваиваются.

  • Найти следующий два члена в последовательности: 5, 2, 8, 3, 11, 4, 14, 5, 17, 6, ___, ___

    Эта последовательность на самом деле связанный с предыдущим.Если я разберу члены последовательности, перечислив чередуя термины в их собственной последовательности, я получаю:

      5, 8, 11, 14, 17,…

      2, 3, 4, 5, 6,…

    Другими словами, нечетные термины (первый, третий, пятый и т. д.), по-видимому, имеют форму «добавить 3 к предыдущему члену», а четные члены (второй, четвертый, шестой и т. д.) имеют вид «добавить 1 к предыдущему сроку».Тогда следующие два члена равны 17. + 3 = 20 и 6 + 1 = 7,

      Следующие два члена, по порядку 20 и 7 .

  • Найти следующий термин в последовательности:   1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ___

    Если вы попробуете общие отличия в этой последовательности вы увидите, что это не работает, так что это не представляют собой полиномиальную последовательность.Всякий раз, когда последовательность не является очевидной генерируется полиномом, обычно (хотя и не всегда) генерируется рекурсией. То есть я должен искать какую-то закономерность, связанную более поздние термины в этой последовательности к более ранним. Сначала я подумал правило для этого должно было быть «сложить предыдущие термины вместе», потому что:

    Но 3 + 5 = 8, не 7, так что это не работает.И умножение явно не работает, так как 23 = 6, не 5. Однако обратите внимание на следующее:   Авторское право Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

    Я бы предположил, что формула должна быть:

    Нет гарантии что это «правильный» ответ, так как «правильный» ответ тот, который хочет ваш учитель.Однако эта формула делает «работа», поэтому допустимо сказать, что следующий термин это:

Обратите внимание, однако, что последовательность может быть даже проще, чем это. Начните перечислять первые несколько простые числа и посмотреть, какая последовательность получится. Сравните этот результат с значения из приведенного выше списка.

  • Найдите пропущенный член: 2, 8, 27, 85, 260, ____, 2365
  • Я проверил, и это не похоже на быть полиномиальной последовательностью.Сначала это не казалось рекурсивным последовательность, но рекурсивные могут быть запутанными и трудными для понимания. Но если человек особенно терпелив и умен и играет с этим бит, можно было бы придумать:

    Похоже, шаблон «взять последний член, умножьте на три, а затем добавьте число для последовательности срок, на котором вы находитесь». Продолжая, получаем:

    Таким образом, шаблон дает нам седьмой член мы должны были получить, что подтверждает, что шестой срок, вероятно, должен быть 786 .

  • Найдите следующий номер: 2, 3, 4, 6, 6, 9, 8, ___
  • Для этого я заметил, что 4 дважды 2, и 6 дважды 3. Затем 6 (второй) трижды 2 и 9 трижды 3. Продолжая, 8 четырежды 2, поэтому следующее число должно быть четыре раза по 3, или 12.Вы также можете просмотреть это как эквивалентные дроби: 2/3, 4/6, 6/9, 8/12 и т. д. В любом случае, следующий номер 12 .

Кстати, «возиться» очень часто является лучшим методом для поиска решений. Не бойтесь возьмите немного бумаги для заметок и просто попробуйте что-нибудь. Нет ничего «неправильного» с вами, если ответ не сразу очевиден для вас. Просто продолжайте пытаться.

<< Предыдущая Топ  |  1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7   | Вернуться к индексу Далее >>

Процитировать эту статью как:

Стапель, Элизабет.«Поиск следующего числа в последовательности: более общие примеры».
Пурпурная математика . Доступно по адресу https://www.purplemath.com/modules/nextnumb5.htm .
Доступ [Дата] [Месяц] 2016
 

 

Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности.Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.


Настройка браузера на прием файлов cookie

Существует множество причин, по которым файл cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее распространенные причины:

  • В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки браузера, чтобы принять файлы cookie, или спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
  • Ваш браузер спрашивает, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файл cookie.
  • Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Попробуйте другой браузер, если вы подозреваете это.
  • Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы это исправить, установите правильное время и дату на своем компьютере.
  • Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Предоставить доступ без файлов cookie потребует от сайта создания нового сеанса для каждой посещаемой вами страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.


Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в файле cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только та информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, если вы не решите ввести его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступ к остальной части вашего компьютера, и только сайт, создавший файл cookie, может его прочитать.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.